统计学 - 标准正态分布

标准正态分布是一个正态分布，其中均值为 0，标准差为 1。

标准正态分布

正态分布的数据可以转换为标准正态分布。

标准化正态分布数据使比较不同数据集变得更容易。

标准正态分布用于

• 计算置信区间
• 假设检验

以下是标准正态分布的图表，显示了标准差之间的概率值 (p 值)

标准化使计算概率变得更容易。

计算概率的函数很复杂，很难手动计算。

通常，概率是通过查找预先计算的值表或使用软件和编程来找到的。

标准正态分布也称为“Z 分布”，其值称为“Z 值”（或 Z 分数）。

Z 值

Z 值表示某个值距均值多少个标准差。

计算 Z 值的公式为

\(\displaystyle Z = \frac{x-\mu}{\sigma}\)

\(x\) 是我们要标准化的值，\(\mu\) 是均值，\(\sigma\) 是标准差。

例如，如果我们知道

鲍勃比德国人的平均身高高 30 厘米。

30 厘米是 10 厘米的 3 倍。因此鲍勃的身高比德国人的平均身高高 3 个标准差。

使用公式

\(\displaystyle Z = \frac{x-\mu}{\sigma} = \frac{200-170}{10} = \frac{30}{10} = \underline{3} \)

鲍勃身高 (200 厘米) 的 Z 值为 3。

查找 Z 值的 P 值

使用Z 表或编程，我们可以计算出德国有多少人比鲍勃矮，有多少人比鲍勃高。

使用任一方法，我们可以发现概率为 \(\approx 0.9987\)，或 \( 99.87\% \)

这意味着鲍勃比德国 99.87% 的人高。

以下是标准正态分布和 Z 值为 3 的图表，用于可视化概率

这些方法可以找到我们所拥有的特定 z 值的 p 值。

要查找 z 值以上的 p 值，我们可以计算 1 减去概率。

因此在鲍勃的例子中，我们可以计算 1 - 0.9987 = 0.0013，或 0.13%。

这意味着只有 0.13% 的德国人比鲍勃高。

查找 Z 值之间的 P 值

如果我们想知道在同一个例子中，德国有多少人的身高在 155 厘米和 165 厘米之间

现在我们需要计算 155 厘米和 165 厘米的 Z 值

\(\displaystyle Z = \frac{x-\mu}{\sigma} = \frac{155-170}{10} = \frac{-15}{10} = \underline{-1.5} \)

155 厘米的 Z 值为 -1.5

\(\displaystyle Z = \frac{x-\mu}{\sigma} = \frac{165-170}{10} = \frac{-5}{10} = \underline{-0.5} \)

165 厘米的 Z 值为 -0.5

使用Z 表或编程，我们可以找到这两个 z 值的 p 值

• Z 值小于 -0.5（身高小于 165 厘米）的概率为 30.85%
• Z 值小于 -1.5（身高小于 155 厘米）的概率为 6.68%

从 30.85% 中减去 6.68% 以找到获得介于两者之间的 z 值的概率。

30.85% - 6.68% = 24.17%

以下是一组图表，说明了该过程

查找 P 值的 Z 值

你也可以使用 p 值（概率）来查找 z 值。

例如

p 值为 0.9，或 90%。

使用Z 表或编程，我们可以计算出 z 值

使用任一方法，我们可以发现 Z 值为 \(\approx 1.281\)

这意味着比德国人的平均身高高 1.281 个标准差的人比德国 90% 的人高。

然后我们使用公式根据德国人的平均身高 (\(\mu\)) 170 厘米和标准差 (\(\sigma\)) 10 厘米来计算身高 (\(x\))

\(\displaystyle Z = \frac{x-\mu}{\sigma} \)

\(\displaystyle 1.281 = \frac{x-170}{10} \)

\(1.281 \cdot 10 = x-170 \)

\(12.81 = x - 170 \)

\(12.81 + 170 = x \)

\(\underline{182.81} = x \)

因此，我们可以得出结论