统计 - 标准正态分布

标准正态分布是指均值为 0，标准差为 1 的正态分布。

标准正态分布

服从正态分布的数据可以转换为标准正态分布。

对服从正态分布的数据进行标准化处理，可以更容易地比较不同的数据集。

标准正态分布用于

• 计算置信区间
• 假设检验

下图是标准正态分布的图形，其中标示了标准差之间的概率值（p 值）。

标准化处理可以更容易地计算概率。

计算概率的函数非常复杂，难以手动计算。

通常，概率是通过查找预先计算值的表格，或使用软件和程序来找到的。

标准正态分布也称为“Z 分布”，其值称为“Z 值”（或 Z 分数）。

Z 值

Z 值表示一个值距离均值有多少个标准差。

计算 Z 值的公式是：

\(\displaystyle Z = \frac{x-\mu}{\sigma}\)

其中 \(x\) 是要标准化的值，\(\mu\) 是均值，\(\sigma\) 是标准差。

例如，如果我们知道：

鲍勃比德国人的平均身高高 30 厘米。

30 厘米是 10 厘米的 3 倍。所以鲍勃的身高比德国平均身高高 3 个标准差。

使用公式：

\(\displaystyle Z = \frac{x-\mu}{\sigma} = \frac{200-170}{10} = \frac{30}{10} = \underline{3} \)

鲍勃身高（200 厘米）的 Z 值为 3。

查找 Z 值的 P 值

使用 Z 表或编程，我们可以计算德国有多少人比鲍勃矮，有多少人比鲍勃高。

使用任何一种方法，我们都可以发现概率约为 \(\approx 0.9987\)，即 \( 99.87\% \)。

这意味着鲍勃比 99.87% 的德国人高。

下图是标准正态分布和 Z 值为 3 的图形，以可视化概率。

这些方法找到的是特定 z 值以下的 p 值。

要找到 z 值以上的 p 值，我们可以计算 1 减去该概率。

所以，在鲍勃的例子中，我们可以计算 1 - 0.9987 = 0.0013，即 0.13%。

这意味着只有 0.13% 的德国人比鲍勃高。

查找 Z 值之间的 P 值

如果我们想知道德国有多少人身高在 155 厘米到 165 厘米之间，使用相同的例子：

现在我们需要计算 155 厘米和 165 厘米的 Z 值。

\(\displaystyle Z = \frac{x-\mu}{\sigma} = \frac{155-170}{10} = \frac{-15}{10} = \underline{-1.5} \)

155 厘米的 Z 值为 -1.5。

\(\displaystyle Z = \frac{x-\mu}{\sigma} = \frac{165-170}{10} = \frac{-5}{10} = \underline{-0.5} \)

165 厘米的 Z 值为 -0.5。

使用 Z 表或编程，我们可以找到两个 z 值的 p 值：

• Z 值小于 -0.5（身高小于 165 厘米）的概率为 30.85%。
• Z 值小于 -1.5（身高小于 155 厘米）的概率为 6.68%。

将 6.68% 从 30.85% 中减去，以找到它们之间的 Z 值的概率。

30.85% - 6.68% = 24.17%

这是一组图示化该过程的图形。

查找 P 值的 Z 值

您也可以使用 p 值（概率）来查找 z 值。

例如

p 值为 0.9，即 90%。

使用 Z 表或编程，我们可以计算 z 值。

使用任一方法，我们都可以发现 Z 值为 \(\approx 1.281\)。

这意味着一个比德国人平均身高高 1.281 个标准差的人比 90% 的德国人高。

然后我们使用公式根据均值（\(\mu\)) 为 170 厘米，标准差（\(\sigma\)) 为 10 厘米来计算身高（\(x\))。

\(\displaystyle Z = \frac{x-\mu}{\sigma} \)

\(\displaystyle 1.281 = \frac{x-170}{10} \)

\(1.281 \cdot 10 = x-170 \)

\(12.81 = x - 170 \)

\(12.81 + 170 = x \)

\(\underline{182.81} = x \)

因此，我们可以得出结论：