统计 - 总体均值估计
总体 均值 是一个数值型总体变量的平均值。
置信区间用于 估计 总体均值。
估计总体均值
来自 样本 的统计量用于估计总体参数。
参数最可能的值是 **点估计**。
此外，我们还可以计算估计参数的 **下界** 和 **上界**。
误差范围 是下界和上界与点估计之间的差值。
下界和上界共同定义了一个 **置信区间**。
计算置信区间
以下步骤用于计算置信区间
- 检查条件
- 找到点估计
- 确定置信水平
- 计算误差范围
- 计算置信区间
例如
- 总体：诺贝尔奖得主
- 变量：获得诺贝尔奖时的年龄
我们可以抽取一个样本，并计算该样本的均值和 标准差。
样本数据用于估计 **所有** 诺贝尔奖获得者的平均年龄。
通过随机选择 30 位诺贝尔奖获得者，我们发现
样本中的平均年龄是 62.1 岁
样本中年龄的标准差是 13.46
根据这些数据，我们可以按照以下步骤计算置信区间。
1. 检查条件
计算均值置信区间的条件是
- 样本是随机选择的
- 并且满足以下任一条件：
- 总体数据呈正态分布
- 样本量足够大
通常，30 这样的中等样本量就足够大了。
在此示例中，样本量为 30 且是随机抽取的，因此条件已满足。
注意： 数据是否呈正态分布可以通过专门的统计检验来检查。
2. 查找点估计
点估计是 样本均值 (\(\bar{x}\))。
计算样本均值的公式是将所有值 \(\sum x_{i}\) 的总和除以样本大小 (\(n\))
\(\displaystyle \bar{x} = \frac{\sum x_{i}}{n}\)
在我们这个例子中，样本中的平均年龄是 62.1 岁。
3. 确定置信水平
置信水平用百分比或十进制数表示。
例如，如果置信水平是 95% 或 0.95
剩余的概率 (\(\alpha\)) 是：5%，或 1 - 0.95 = 0.05。
常用的置信水平有
- 90%，\(\alpha\) = 0.1
- 95%，\(\alpha\) = 0.05
- 99%，\(\alpha\) = 0.01
注意： 95% 的置信水平意味着如果我们抽取 100 个不同的样本并为每个样本计算置信区间
真实的参数将在 100 个置信区间中的 95 个内。
我们使用 学生 t 分布 来查找置信区间的 **误差范围**。
t 分布根据样本大小通过“自由度”（df）进行调整。
自由度是样本大小 (n) - 1，在这个例子中是 30 - 1 = 29
剩余概率 (\(\alpha\)) 被分成两半，一半在分布的左尾区域，一半在右尾区域。
分隔尾部区域和中间区域的 t 值称为 **临界 t 值**。
以下是标准正态分布的图表，显示了 29 个自由度 (df) 下不同置信水平的尾部区域 (\(\alpha\))。
4. 计算误差范围
误差范围是点估计与下界和上界之间的差值。
比例的误差范围 (\(E\)) 是通过 临界 t 值 和 **标准误差** 计算的。
\(\displaystyle E = t_{\alpha/2}(df) \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \)
临界 t 值 \(t_{\alpha/2}(df) \) 是根据标准正态分布和置信水平计算的。
标准误差 \(\frac{s}{\sqrt{n}} \) 是根据样本标准差 (\(s\)) 和样本大小 (\(n\)) 计算的。
在我们这个例子中，样本标准差 (\(s\)) 为 13.46，样本大小为 30，标准误差为
\(\displaystyle \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{13.46}{\sqrt{30}} \approx \frac{13.46}{5.477} = \underline{2.458}\)
如果我们选择 95% 作为置信水平，则 \(\alpha\) 为 0.05。
所以我们需要找到临界 t 值 \(t_{0.05/2}(29) = t_{0.025}(29)\)
临界 t 值可以使用 t 表 或编程语言函数找到。
示例
使用 Python，可以使用 Scipy Stats 库的 t.ppf() 函数找到 \(\alpha\)/2 = 0.025 和 29 个自由度的 t 值。
import scipy.stats as stats
print(stats.t.ppf(1-0.025, 29))
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示例
使用任何一种方法，我们都可以找到临界 t 值 \(t_{\alpha/2}(df)\) 约为 \(\underline{2.05} \)
标准误差 \(\frac{s}{\sqrt{n}}\) 约为 \(\underline{2.458}\)
所以误差范围 (\(E\)) 是
\(\displaystyle E = t_{\alpha/2}(df) \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \approx 2.05 \cdot 2.458 = \underline{5.0389}\)
5. 计算置信区间
置信区间的下界和上界是通过将误差范围 (\(E\)) 从点估计 (\(\bar{x}\)) 中减去和加起来找到的。
在我们这个例子中，点估计是 0.2，误差范围是 0.143，那么
下界是
\(\bar{x} - E = 62.1 - 5.0389 \approx \underline{57.06} \)
上界是
\(\bar{x} + E = 62.1 + 5.0389 \approx \underline{67.14} \)
置信区间是
\([57.06, 67.14]\)
我们可以总结置信区间为
诺贝尔奖获得者平均年龄的 **95%** 置信区间在 **57.06 到 67.14 岁** 之间
使用编程计算置信区间
置信区间可以用许多编程语言计算。
对于大型数据集，使用软件和编程计算统计量更为常见，因为手动计算会变得困难。
注意： 使用编程代码的结果将更准确，因为手工计算时会进行值舍入。
示例
使用 Python，可以使用 scipy 和 math 库来计算估计比例的置信区间。
在这里，样本大小是 30，样本均值是 62.1，样本标准差是 13.46。
import scipy.stats as stats
import math
# 指定样本均值 (x_bar)，样本标准差 (s)，样本大小 (n) 和置信水平
x_bar = 62.1
s = 13.46
n = 30
confidence_level = 0.95
# 计算 alpha，自由度 (df)，临界 t 值和误差范围
alpha = (1-confidence_level)
df = n - 1
standard_error = s/math.sqrt(n)
critical_t = stats.t.ppf(1-alpha/2, df)
margin_of_error = critical_t * standard_error
# 计算置信区间的下界和上界
lower_bound = x_bar - margin_of_error
upper_bound = x_bar + margin_of_error
# 打印结果
print("临界 t 值: {:.3f}".format(critical_t))
print("误差范围: {:.3f}".format(margin_of_error))
print("置信区间: [{:.3f},{:.3f}]".format(lower_bound,upper_bound))
print("总体均值的 {:.1%} 置信区间是:".format(confidence_level))
print("介于 {:.3f} 和 {:.3f} 之间".format(lower_bound,upper_bound))
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示例
R 可以使用内置的数学和统计函数来计算估计比例的置信区间。
在这里，样本大小是 30，样本均值是 62.1，样本标准差是 13.46。
# 指定样本均值 (x_bar)，样本标准差 (s)，样本大小 (n) 和置信水平
x_bar = 62.1
s = 13.46
n = 30
confidence_level = 0.95
# 计算 alpha，自由度 (df)，临界 t 值和误差范围
alpha = (1-confidence_level)
df = n - 1
standard_error = s/sqrt(n)
critical_t = qt(1-alpha/2, 29)
margin_of_error = critical_t * standard_error
# 计算置信区间的下界和上界
lower_bound = x_bar - margin_of_error
upper_bound = x_bar + margin_of_error
# 打印结果
sprintf("临界 t 值: %0.3f", critical_t)
sprintf("误差范围: %0.3f", margin_of_error)
sprintf("置信区间: [%0.3f,%0.3f]", lower_bound, upper_bound)
sprintf("总体均值的 %0.1f%% 置信区间是:", confidence_level*100)
sprintf("介于 %0.4f 和 %0.4f 之间", lower_bound, upper_bound)
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注意： R 还有一个内置函数用于计算总体均值的置信区间。
示例
R 可以使用内置的 t.test() 函数来计算估计均值的置信区间。
在这里，样本是 30 个随机生成的值，均值为 60，标准差为 12.5，使用 rnorm() 函数生成样本。
# 指定样本大小 (n) 和置信水平
n = 30
confidence_level = 0.95
# 设置随机种子并生成均值为 60，标准差为 12.5 的样本数据
set.seed(3)
sample <- rnorm(n, 60, 12.5)
# t.test 函数用于样本数据，置信水平，并选择 $conf.int 选项
t.test(sample, conf.level = confidence_level)$conf.int
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