统计学 - 估计总体比例
总体比例是指一个总体中属于特定类别的个体所占的比例。
置信区间用于估计总体比例。
估计总体比例
使用来自样本的统计量来估计总体的参数。
参数最有可能的值是点估计。
此外，我们可以计算估计参数的下限和上限。
误差范围是指点估计值与上下限之间的差值。
上下限共同定义了置信区间。
计算置信区间
以下步骤用于计算置信区间
- 检查条件
- 找到点估计
- 决定置信水平
- 计算误差范围
- 计算置信区间
例如
- 总体：诺贝尔奖获得者
- 类别：出生在美国
我们可以抽取一个样本，看看有多少人出生在美国。
样本数据用于估计所有出生在美国的诺贝尔奖获得者的比例。
通过随机选择30位诺贝尔奖获得者，我们发现
样本中30位诺贝尔奖获得者中有6位出生在美国
根据这些数据，我们可以通过以下步骤计算置信区间。
1. 检查条件
计算比例置信区间的条件是
- 样本是随机选择的
- 只有两种选择
- 属于该类别
- 不属于该类别
- 样本至少需要
- 5个属于该类别的成员
- 5个不属于该类别的成员
在我们的例子中，我们随机选择了6个出生在美国的人。
其余的人没有出生在美国，所以另外一类有24人。
在这种情况下，条件满足。
注意：即使没有5个属于每个类别，也可以计算置信区间。但需要进行特殊调整。
2. 找到点估计
点估计是样本比例（\(\hat{p}\)）。
计算样本比例的公式是出现次数（\(x\)）除以样本量（\(n\)）
\(\displaystyle \hat{p} =\frac{x}{n}\)
在我们的例子中，30人中有6人出生在美国：\(x\)是6，\(n\)是30。
因此，比例的点估计是
\(\displaystyle \hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{6}{30} = \underline{0.2} = 20\%\)
因此，样本中20%的人出生在美国。
3. 决定置信水平
置信水平用百分比或小数表示。
例如，如果置信水平是95%或0.95
那么剩余概率（\(\alpha\)）是：5%，或1 - 0.95 = 0.05。
常用的置信水平是
- 90% with \(\alpha\) = 0.1
- 95% with \(\alpha\) = 0.05
- 99% with \(\alpha\) = 0.01
注意：95%的置信水平意味着，如果我们抽取100个不同的样本，并为每个样本建立置信区间
真值参数将在100个置信区间中有95个位于置信区间内。
我们使用标准正态分布来找到置信区间的误差范围。
剩余概率（\(\alpha\)）被分成两半，使一半位于分布的每个尾部区域。
将尾部区域与中间部分隔开的z值轴上的值称为临界z值。
以下是标准正态分布的图形，显示了不同置信水平的尾部区域（\(\alpha\)）。
4. 计算误差范围
误差范围是指点估计值与上下限之间的差值。
比例的误差范围（\(E\)）用临界z值和标准误计算
\(\displaystyle E = Z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \)
临界z值 \(Z_{\alpha/2} \) 是根据标准正态分布和置信水平计算的。
标准误 \(\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \) 是根据点估计（\(\hat{p}\)）和样本量（\(n\)）计算的。
在我们的例子中，样本量为30，出生在美国的诺贝尔奖获得者为6，标准误为
\(\displaystyle \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0.2(1-0.2)}{30}} = \sqrt{\frac{0.2 \cdot 0.8}{30}} = \sqrt{\frac{0.16}{30}} = \sqrt{0.00533..} \approx \underline{0.073}\)
如果我们选择95%作为置信水平，则\(\alpha\)为0.05。
因此，我们需要找到临界z值 \(Z_{0.05/2} = Z_{0.025}\)
可以使用Z表或编程语言函数来找到临界z值。
示例
使用Python的Scipy Stats库的norm.ppf()函数找到\(\alpha\)/2 = 0.025的Z值
import scipy.stats as stats
print(stats.norm.ppf(1-0.025))
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使用任何一种方法，我们都可以发现临界Z值 \( Z_{\alpha/2} \) 为 \(\approx \underline{1.96} \)
标准误 \(\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\) 为 \( \approx \underline{0.073}\)
因此，误差范围（\(E\)）为
\(\displaystyle E = Z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \approx 1.96 \cdot 0.073 = \underline{0.143}\)
5. 计算置信区间
置信区间的上下限是通过从点估计（\(\hat{p}\)）中减去和加上误差范围（\(E\)）来找到的。
在我们的例子中，点估计为0.2，误差范围为0.143，则
下限为
\(\hat{p} - E = 0.2 - 0.143 = \underline{0.057} \)
上限为
\(\hat{p} + E = 0.2 + 0.143 = \underline{0.343} \)
置信区间为
\([0.057, 0.343]\) or \([5.7 \%, 34.4 \%]\)
我们可以总结置信区间，如下所示
出生在美国的诺贝尔奖获得者比例的95%置信区间介于5.7%和34.4%之间
使用编程计算置信区间
可以使用许多编程语言来计算置信区间。
对于更大的数据集，使用软件和编程来计算统计量更为常见，因为手动计算会变得很困难。
示例
使用Python的scipy和math库来计算估计比例的置信区间。
这里，样本量为30，出现次数为6。
import scipy.stats as stats
import math
# 指定样本出现次数（x）、样本量（n）和置信水平
x = 6
n = 30
confidence_level = 0.95
# 计算点估计、alpha、临界z值、标准误和误差范围
point_estimate = x/n
alpha = (1-confidence_level)
critical_z = stats.norm.ppf(1-alpha/2)
standard_error = math.sqrt((point_estimate*(1-point_estimate)/n))
margin_of_error = critical_z * standard_error
# 计算置信区间的下限和上限
lower_bound = point_estimate - margin_of_error
upper_bound = point_estimate + margin_of_error
# 打印结果
print("点估计值：{:.3f}".format(point_estimate))
print("临界Z值：{:.3f}".format(critical_z))
print("误差范围：{:.3f}".format(margin_of_error))
print("置信区间：[{:.3f},{:.3f}]".format(lower_bound,upper_bound))
print("总体比例的{:.1%}置信区间为：".format(confidence_level))
print("介于{:.3f}和{:.3f}之间".format(lower_bound,upper_bound))
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示例
使用R的内置数学和统计函数来计算估计比例的置信区间。
这里，样本量为30，出现次数为6。
# 指定样本出现次数（x）、样本量（n）和置信水平
x = 6
n = 30
confidence_level = 0.95
# 计算点估计、alpha、临界z值、标准误和误差范围
point_estimate = x/n
alpha = (1-confidence_level)
critical_z = qnorm(1-alpha/2)
standard_error = sqrt(point_estimate*(1-point_estimate)/n)
margin_of_error = critical_z * standard_error
# 计算置信区间的下限和上限
lower_bound = point_estimate - margin_of_error
upper_bound = point_estimate + margin_of_error
# 打印结果
sprintf("点估计值：%0.3f", point_estimate)
sprintf("临界Z值：%0.3f", critical_z)
sprintf("误差范围: %0.3f", margin_of_error)
sprintf("置信区间: [%0.3f,%0.3f]", lower_bound, upper_bound)
sprintf("总体比例的 %0.1f%% 置信区间为:", confidence_level*100)
sprintf("%0.4f 到 %0.4f 之间", lower_bound, upper_bound)
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