统计 - 比例假设检验（左侧尾部）
总体比例是指属于特定类别的总体份额。
假设检验用于检验关于总体比例大小的断言。
比例的假设检验
假设检验使用以下步骤
- 检查条件
- 定义断言
- 确定显著性水平
- 计算检验统计量
- 结论
例如
- 总体：诺贝尔奖得主
- 类别：出生在美国
我们要检验的断言是
"不到 45% 的诺贝尔奖获得者出生在美国"
通过抽取 40 名随机选定的诺贝尔奖获得者样本，我们发现：
样本中有 10 名诺贝尔奖获得者出生在美国
那么，样本比例为：\(\displaystyle \frac{10}{40} = 0.25\)，即 25%。
我们根据以下步骤，使用此样本数据检验断言。
1. 检查条件
计算比例置信区间的条件是
- 样本是随机选择的
- 只有两个选项
- 属于该类别
- 不属于该类别
- 样本至少需要
- 5 个成员属于该类别
- 5 个成员不属于该类别
在我们的例子中，我们随机抽取了 10 名出生在美国的人。
其余的都不是出生在美国，所以有 30 人属于另一类。
在这种情况下，条件得到满足。
注意：在没有每个类别都达到 5 个成员的情况下进行假设检验是可能的。但需要进行特殊调整。
2. 定义断言
我们需要根据我们正在检验的断言来定义一个零假设 (\(H_{0}\)) 和一个备择假设 (\(H_{1}\))。
断言是
"不到 45% 的诺贝尔奖获得者出生在美国"
在这种情况下，参数是出生在美国的诺贝尔奖获得者的比例（\(p\)）。
零假设和备择假设是
原假设：45% 的诺贝尔奖获得者出生在美国。
备择假设：不到 45% 的诺贝尔奖获得者出生在美国。
可以用符号表示为
\(H_{0}\)：\(p = 0.45 \)
\(H_{1}\)：\(p < 0.45 \)
这是一个“左侧尾部”检验，因为备择假设声称该比例小于原假设中的比例。
如果数据支持备择假设，我们拒绝零假设并接受备择假设。
3. 确定显著性水平
显著性水平 (\(\alpha\)) 是我们在假设检验中拒绝零假设时接受的不确定性。
显著性水平是意外做出错误结论的百分比概率。
典型的显著性水平是
- \(\alpha = 0.1\) (10%)
- \(\alpha = 0.05\) (5%)
- \(\alpha = 0.01\) (1%)
较低的显著性水平意味着数据中的证据需要更强才能拒绝零假设。
没有“正确”的显著性水平——它只说明了结论的不确定性。
注意：5% 的显著性水平意味着当我们拒绝一个零假设时
我们预计在 100 次中会拒绝 5 次真实的零假设。
4. 计算检验统计量
检验统计量用于决定假设检验的结果。
检验统计量是根据样本计算出的标准化值。
总体比例的检验统计量 (TS) 公式是
\(\displaystyle \frac{\hat{p} - p}{\sqrt{p(1-p)}} \cdot \sqrt{n} \)
\(\hat{p}-p\) 是样本比例 (\(\hat{p}\)) 与声称的总体比例 (\(p\)) 之间的差值。
\(n\) 是样本大小。
在我们的例子中
声称的（\(H_{0}\)）总体比例（\(p\)）是 \( 0.45 \)
样本比例（\(\hat{p}\)）是 10 名样本中有 40 名，即：\(\displaystyle \frac{10}{40} = 0.25\)
样本量（\(n\)) 为 \(40\)
所以检验统计量 (TS) 是
\(\displaystyle \frac{0.25-0.45}{\sqrt{0.45(1-0.45)}} \cdot \sqrt{40} = \frac{-0.2}{\sqrt{0.45(0.55)}} \cdot \sqrt{40} = \frac{-0.2}{\sqrt{0.2475}} \cdot \sqrt{40} \approx \frac{-0.2}{0.498} \cdot 6.325 = \underline{-2.543}\)
您也可以使用编程语言函数计算检验统计量
示例
使用 Python，利用 scipy 和 math 库计算比例的检验统计量。
import scipy.stats as stats
import math
# 指定出现次数 (x)、样本大小 (n) 和零假设中声称的比例 (p)
x = 10
n = 40
p = 0.45
# 计算样本比例
p_hat = x/n
# 计算并打印检验统计量
print((p_hat-p)/(math.sqrt((p*(1-p))/(n))))
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示例
使用 R，可以通过内置的数学函数来计算比例的检验统计量。
# 指定样本出现次数 (x)、样本大小 (n) 和零假设声称 (p)
x <- 10
n <- 40
p <- 0.45
# 计算样本比例
p_hat = x/n
# 计算并输出检验统计量
(p_hat-p)/(sqrt((p*(1-p))/(n)))
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5. 做出结论
做出假设检验结论主要有两种方法
- 临界值方法将检验统计量与显著性水平的临界值进行比较。
- P 值方法将检验统计量的 P 值与显著性水平进行比较。
注意：这两种方法只是在呈现结论的方式上有所不同。
临界值方法
对于临界值方法，我们需要找到显著性水平 (\(\alpha\)) 的临界值 (CV)。
对于总体比例检验，临界值 (CV) 是来自标准正态分布的 Z 值。
此临界 Z 值 (CV) 定义了检验的拒绝域。
拒绝域是标准正态分布尾部的概率区域。
因为声称总体比例小于 45%，所以拒绝区域在左侧尾部。
拒绝域的大小由显著性水平 (\(\alpha\)) 决定。
选择显著性水平（\(\alpha\)) 为 0.01，即 1%，我们可以从 Z 表 或使用编程语言函数找到临界 Z 值。
示例
使用 Python，可以使用 Scipy Stats 库中的 norm.ppf() 函数来查找左侧尾部 \(\alpha\) = 0.01 的 Z 值。
import scipy.stats as stats
print(stats.norm.ppf(0.01))
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使用任何一种方法，我们都可以找到临界 Z 值约为 \(\approx \underline{-2.3264}\)
对于左侧尾部检验，我们需要检查检验统计量（TS）是否小于临界值（CV）。
如果检验统计量小于临界值，则检验统计量位于拒绝区域。
当检验统计量在拒绝域内时，我们拒绝零假设 (\(H_{0}\))。
在这里，检验统计量（TS）约为 \(\approx \underline{-2.543}\)，临界值为 \(\approx \underline{-2.3264}\)
下图显示了此检验的图示
由于检验统计量小于临界值，我们拒绝原假设。
这意味着样本数据支持备择假设。
我们可以总结结论如下
在1% 的显著性水平下，样本数据支持“不到 45% 的诺贝尔奖获得者出生在美国”的说法。
P 值方法
对于 P 值方法，我们需要找到检验统计量 (TS) 的 P 值。
如果 P 值
检验统计量经计算为 \( \approx \underline{-2.543} \)
对于总体比例检验，检验统计量是来自标准正态分布的 Z 值。
因为这是一个左侧尾部检验，我们需要找到 Z 值小于 -2.543 的 P 值。
我们可以使用 Z 表或使用编程语言函数找到 P 值
示例
使用 Python，可以使用 Scipy Stats 库中的 norm.cdf() 函数来查找 Z 值小于 -2.543 的 P 值。
import scipy.stats as stats
print(stats.norm.cdf(-2.543))
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使用任何一种方法，我们都可以找到 P 值约为 \(\approx \underline{0.0055}\)
这告诉我们，显著性水平 (\(\alpha\)) 需要大于 0.0055，即 0.55%，才能拒绝原假设。
下图显示了此检验的图示
这个 P 值小于任何常见的显著性水平（10%、5%、1%）。
因此，零假设在所有这些显著性水平下都被拒绝。
我们可以总结结论如下
在10%、5% 和 1% 的显著性水平下，样本数据支持“不到 45% 的诺贝尔奖获得者出生在美国”的说法。
使用编程计算假设检验的 P 值
许多编程语言可以计算 P 值来决定假设检验的结果。
对于大型数据集，使用软件和编程计算统计量更为常见，因为手动计算会变得困难。
此处计算的 P 值将告诉我们零假设可以被拒绝的最低可能显著性水平。
示例
使用 Python，可以使用 scipy 和 math 库来计算比例左侧尾部假设检验的 P 值。
在这里，样本量为 40，事件数为 10，检验的比例小于 0.45。
import scipy.stats as stats
import math
# 指定出现次数 (x)、样本大小 (n) 和零假设中声称的比例 (p)
x = 10
n = 40
p = 0.45
# 计算样本比例
p_hat = x/n
# 计算检验统计量
test_stat = (p_hat-p)/(math.sqrt((p*(1-p))/(n)))
# 输出检验统计量的 P 值（左侧尾部检验）
print(stats.norm.cdf(test_stat))
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示例
使用 R，可以通过内置的 prop.test() 函数来查找比例左侧尾部假设检验的 P 值。
在这里，样本量为 40，事件数为 10，检验的比例大于 0.45。
# 指定样本出现次数 (x)、样本大小 (n) 和零假设声称 (p)
x <- 10
n <- 40
p <- 0.45
# 0.01 显著性水平下的左侧尾部比例检验 P 值
prop.test(x, n, p, alternative = c("less"), conf.level = 0.99, correct = FALSE)$p.value
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注意：R 代码中的 conf.level 与显著性水平相反。
在这里，显著性水平为 0.01，即 1%，因此置信水平为 1-0.01 = 0.99，即 99%。
左尾和双尾检验
这是一个**左侧**尾部检验的示例，其中备择假设声称的参数**小于**零假设的声称值。
您可以在此处查看其他类型的等效分步指南
