统计 - 均值假设检验（左尾）
总体均值是总体中所有值的平均值。
假设检验用于检验关于总体均值大小的断言。
均值假设检验
假设检验使用以下步骤
- 检查条件
- 定义断言
- 确定显著性水平
- 计算检验统计量
- 结论
例如
- 总体：诺贝尔奖获得者
- 类别：获奖时的年龄。
我们想检验以下断言
"诺贝尔奖获得者获奖时的平均年龄小于60岁"
通过随机抽取30位诺贝尔奖获得者的样本，我们可以发现
样本均值(\(\bar{x}\))为62.1岁
样本年龄的标准差(\(s\))为13.46岁
根据这些样本数据，我们可以用以下步骤来检验断言。
1. 检查条件
计算比例置信区间的条件是
- 样本是随机抽取的
- 并且
- 总体数据呈正态分布
- 样本量足够大
一般来说，30这样的中等样本量通常足够大。
在本例中，样本量为30，并且是随机抽取的，因此条件满足。
注意：可以使用专门的统计检验来检查数据是否呈正态分布。
2. 定义断言
我们需要根据我们要检验的断言定义一个零假设(\(H_{0}\))和一个备择假设(\(H_{1}\))。
该断言是
"诺贝尔奖获得者获奖时的平均年龄小于60岁"
在这种情况下，参数是诺贝尔奖获得者获奖时的平均年龄(\(\mu\))。
那么零假设和备择假设为
零假设：平均年龄为60岁。
备择假设：平均年龄小于60岁。
可以用符号表示为
\(H_{0}\): \(\mu = 60 \)
\(H_{1}\): \(\mu < 60 \)
这是一个“左尾”检验，因为备择假设断言比例小于零假设中的比例。
如果数据支持备择假设，则我们拒绝零假设并接受备择假设。
3. 确定显著性水平
显著性水平(\(\alpha\))是在假设检验中拒绝零假设时我们接受的不确定性。
显著性水平是意外得出错误结论的百分比概率。
典型的显著性水平为
- \(\alpha = 0.1\) (10%)
- \(\alpha = 0.05\) (5%)
- \(\alpha = 0.01\) (1%)
较低的显著性水平意味着数据中的证据需要更强才能拒绝零假设。
没有“正确”的显著性水平——它只说明结论的不确定性。
注意：5%的显著性水平意味着当我们拒绝零假设时
我们预计在100次中会拒绝正确的零假设5次。
4. 计算检验统计量
检验统计量用于决定假设检验的结果。
检验统计量是一个根据样本计算得出的标准化值。
总体均值的检验统计量 (TS) 公式为
\(\displaystyle \frac{\bar{x} - \mu}{s} \cdot \sqrt{n} \)
\(\bar{x}-\mu\)是样本均值(\(\bar{x}\))与断言的总体均值(\(\mu\))之间的差异。
\(s\)是样本标准差.
\(n\)是样本量。
在本例中
断言的(\(H_{0}\))总体均值(\(\mu\))为\( 60 \)
样本均值(\(\bar{x}\))为\(62.1\)
样本标准差(\(s\))为\(13.46\)
样本量(\(n\))为\(30\)
因此检验统计量 (TS) 为
\(\displaystyle \frac{62.1-60}{13.46} \cdot \sqrt{30} = \frac{2.1}{13.46} \cdot \sqrt{30} \approx 0.156 \cdot 5.477 = \underline{0.855}\)
您也可以使用编程语言函数来计算检验统计量
示例
使用 Python 中的 scipy 和 math 库来计算检验统计量。
import scipy.stats as stats
import math
# 指定样本均值 (x_bar)、样本标准差 (s)、零假设中断言的均值 (mu_null) 和样本量 (n)
x_bar = 62.1
s = 13.46
mu_null = 60
n = 30
# 计算并打印检验统计量
print((x_bar - mu_null)/(s/math.sqrt(n)))
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示例
使用 R 中的内置数学和统计函数来计算检验统计量。
# 指定样本均值 (x_bar)、样本标准差 (s)、零假设中断言的均值 (mu_null) 和样本量 (n)
x_bar <- 62.1
s <- 13.46
mu_null <- 60
n <- 30
# 输出检验统计量
(x_bar - mu_null)/(s/sqrt(n))
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5. 结论
得出假设检验结论主要有两种方法
- 临界值方法将检验统计量与显著性水平的临界值进行比较。
- P 值方法将检验统计量的 P 值与显著性水平进行比较。
注意：这两种方法只在结论的表达方式上有所不同。
临界值方法
对于临界值方法，我们需要找到显著性水平(\(\alpha\))的临界值 (CV)。
对于总体均值检验，临界值 (CV) 是来自学生 t 分布的T 值。
此临界 T 值 (CV) 定义了检验的拒绝域。
拒绝域是标准正态分布尾部中的概率区域。
由于断言是总体均值小于60，因此拒绝域位于左尾
拒绝域的大小由显著性水平(\(\alpha\))决定。
学生 t 分布会根据较小样本的不确定性进行调整。
这种调整称为自由度 (df)，它是样本量 \((n) - 1\)
在这种情况下，自由度 (df) 为：\(30 - 1 = \underline{29} \)
选择 0.05 或 5% 的显著性水平(\(\alpha\))，我们可以从T 表中找到临界 T 值，或者使用编程语言函数
示例
使用 Python 中的 Scipy Stats 库 t.ppf() 函数查找在 29 个自由度 (df) 下 \(\alpha\) = 0.05 的 T 值。
import scipy.stats as stats
print(stats.t.ppf(0.05, 29))
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使用任一方法，我们都可以发现临界 T 值约为 \(\approx \underline{-1.699}\)
对于左尾检验，我们需要检查检验统计量 (TS) 是否小于临界值 (CV)。
如果检验统计量小于临界值，则检验统计量位于拒绝域中。
当检验统计量位于拒绝域中时，我们拒绝零假设(\(H_{0}\))。
这里，检验统计量 (TS) 约为 \(\approx \underline{0.855}\)，而临界值为 \(\approx \underline{-1.699}\)
以下是图表中此检验的示例
由于检验统计量大于临界值，因此我们保留零假设。
这意味着样本数据不支持备择假设。
我们可以总结结论，指出
样本数据不支持“诺贝尔奖获得者获奖时的平均年龄小于60岁”的断言，显著性水平为5%。
P 值方法
对于 P 值方法，我们需要找到检验统计量 (TS) 的P 值。
如果 P 值 **小于** 显着性水平 ( \(\alpha\) )，则 **拒绝** 零假设 ( \(H_{0}\) )。
检验统计量被发现为 \( \approx \underline{0.855} \)
对于总体比例检验，检验统计量是来自 学生 t 分布 的 T 值。
因为这是一个 **左** 尾检验，我们需要找到小于 0.855 的 t 值的 P 值。
学生 t 分布根据自由度 (df) 进行调整，自由度是样本大小 \((30) - 1 = \underline{29}\)
我们可以使用 T 表 或编程语言函数来查找 P 值。
示例
使用 Python 的 Scipy Stats 库 t.cdf() 函数，在 29 个自由度 (df) 下找到小于 0.855 的 T 值的 P 值。
import scipy.stats as stats
print(stats.t.cdf(0.855, 29))
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使用任一方法，我们可以发现 P 值为 \(\approx \underline{0.800}\)
这告诉我们，显着性水平 ( \(\alpha\) ) 需要小于 0.80 或 80% 才能 **拒绝** 零假设。
以下是图表中此检验的示例
这个 P 值远 **大于** 任何常见的显着性水平 (10%、5%、1%)。
因此，零假设在所有这些显着性水平上都 **保留** 着。
我们可以总结结论，指出
样本数据 **不支持** 以下说法：“诺贝尔奖获得者在获得奖项时的平均年龄小于 60 岁” **在 10%、5% 或 1% 的显着性水平上**。
使用编程计算假设检验的 P 值
许多编程语言可以计算 P 值以决定假设检验的结果。
对于更大的数据集，使用软件和编程来计算统计数据更为常见，因为手动计算变得很困难。
这里计算的 P 值将告诉我们 **最低可能的显着性水平**，在此水平上可以拒绝零假设。
示例
使用 Python 的 scipy 和 math 库来计算均值的左尾假设检验的 P 值。
这里，样本大小为 30，样本均值为 62.1，样本标准差为 13.46，检验是针对小于 60 的均值。
import scipy.stats as stats
import math
# 指定样本均值 (x_bar)、样本标准差 (s)、零假设中断言的均值 (mu_null) 和样本量 (n)
x_bar = 62.1
s = 13.46
mu_null = 60
n = 30
# 计算检验统计量
test_stat = (x_bar - mu_null)/(s/math.sqrt(n))
# 输出检验统计量的 p 值（左尾检验）
print(stats.t.cdf(test_stat, n-1))
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示例
使用 R 的内置数学和统计函数来计算均值的左尾假设检验的 P 值。
这里，样本大小为 30，样本均值为 62.1，样本标准差为 13.46，检验是针对小于 60 的均值。
# 指定样本均值 (x_bar)、样本标准差 (s)、零假设中断言的均值 (mu_null) 和样本量 (n)
x_bar <- 62.1
s <- 13.46
mu_null <- 60
n <- 30
# 计算检验统计量
test_stat = (x_bar - mu_null)/(s/sqrt(n))
# 计算检验统计量的 p 值（左尾检验）
pt(test_stat, n-1)
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左尾检验和双尾检验
这是一个 **左** 尾检验的示例，其中备择假设声称参数 **小于** 零假设的声明。
您可以查看其他类型的等效步骤指南
