统计 - 标准差

标准差是变化性中最常用的度量，它描述了数据的离散程度。

标准差

标准差 (σ) 衡量“典型”观测值与数据平均值 (μ) 的距离。

标准差对于许多统计方法都很重要。

这是截至 2020 年所有 934 位诺贝尔奖获得者年龄的直方图，显示了标准差

直方图中的每条虚线都表示增加一个标准差的偏移。

如果数据是正态分布的：

• 大约 68.3% 的数据在平均值的一个标准差范围内 (从 μ-1σ 到 μ+1σ)
• 大约 95.5% 的数据在平均值的两个标准差范围内 (从 μ-2σ 到 μ+2σ)
• 大约 99.7% 的数据在平均值的三个标准差范围内 (从 μ-3σ 到 μ+3σ)

计算标准差

您可以计算总体和样本的标准差。

这两个公式几乎相同，并使用不同的符号来指代标准差 (\(\sigma\)) 和样本标准差 (\(s\))。

标准差 (\(\sigma\)) 的计算公式为：

\(\displaystyle \sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_{i}-\mu)^2}{n}}\)

样本标准差 (\(s\)) 的计算公式为：

\(\displaystyle s = \sqrt{\frac{\sum (x_{i}-\bar{x})^2}{n-1}}\)

\(n\) 是观测值的总数。

\(\sum \) 是将一系列数字相加的符号。

\(x_{i}\) 是数据中的值列表：\(x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots \)

\(\mu\) 是总体均值，\(\bar{x}\) 是样本均值（平均值）。

\( (x_{i} - \mu ) \) 和 \( (x_{i} - \bar{x} ) \) 是观测值 (\(x_{i}\)) 与均值之间的差值。

每个差值都被平方并相加。

然后将总和除以 \(n\) 或 (\( n - 1 \))，然后计算平方根。

使用这 4 个示例值计算总体标准差

我们必须先找到均值

\(\displaystyle \mu = \frac{\sum x_{i}}{n} = \frac{4 + 11 + 7 + 14}{4} = \frac{36}{4} = \underline{9} \)

然后我们找到每个值与均值的差值 \( (x_{i}- \mu)\)

• \( 4-9 \; \:= -5 \)
• \( 11-9 = 2 \)
• \( 7-9 \; \:= -2 \)
• \( 14-9 = 5 \)

然后将每个值平方，即乘以自身 \( ( x_{i}- \mu )^2\)

• \( (-5)^2 = (-5)(-5) = 25 \)
• \( 2^2 \; \; \; \; \; \, = 2*2 \; \; \; \; \; \; \; \: = 4 \)
• \( (-2)^2 = (-2)(-2) = 4 \)
• \( 5^2 \; \; \; \; \; \, = 5*5 \; \; \; \; \; \; \; \: = 25 \)

然后将所有平方差相加 \( \sum (x_{i} -\mu )^2\)

\( 25 + 4 + 4 + 25 = 58\)

然后将总和除以观测值的总数 \( n \)

\( \displaystyle \frac{58}{4} = 14.5\)

最后，我们取这个数字的平方根

\( \sqrt{14.5} \approx \underline{3.81} \)

因此，示例值的标准差大约为：\(3.81 \)

使用编程计算标准差

使用许多编程语言可以轻松计算标准差。

使用软件和编程计算统计数据对于较大的数据集更为常见，因为手动计算会变得困难。

总体标准差

样本标准差

统计符号参考