统计 - 标准差

标准差是使用最广泛的变异测量方法，它描述了数据的离散程度。

标准差

标准差 (σ) 衡量的是一个“典型”观测值距离数据平均值 (μ) 的程度。

标准差在许多统计方法中都非常重要。

以下是截至 2020 年所有 934 位诺贝尔奖获得者年龄的直方图，显示了**标准差**

直方图中的每条虚线都代表一个标准差的增量。

如果数据呈**正态分布：**

• 大约 68.3% 的数据位于平均值的 1 个标准差内 (从 μ-1σ 到 μ+1σ)
• 大约 95.5% 的数据位于平均值的 2 个标准差内 (从 μ-2σ 到 μ+2σ)
• 大约 99.7% 的数据位于平均值的 3 个标准差内 (从 μ-3σ 到 μ+3σ)

计算标准差

您可以计算**总体**和**样本**的标准差。

公式**几乎**相同，使用不同的符号来表示标准差 (σ) 和**样本**标准差 (s)。

计算**标准差** (σ) 使用以下公式

\(\displaystyle \sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_{i}-\mu)^2}{n}}\)

计算**样本标准差** (s) 使用以下公式

\(\displaystyle s = \sqrt{\frac{\sum (x_{i}-\bar{x})^2}{n-1}}\)

\(n\) 是观测值的总数。

\(\sum \) 是将一列数字加起来的符号。

\(x_{i}\) 是数据中的值列表：\(x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots \)

\(\mu\) 是总体均值，\(\bar{x}\) 是样本均值（平均值）。

\( (x_{i} - \mu ) \) 和 \( (x_{i} - \bar{x} ) \) 是观测值 (\(x_{i}\)) 和均值之间的差值。

每个差值都被平方并加在一起。

然后将总和除以 \(n\) 或 (\( n - 1 \))，最后求平方根。

使用这 4 个示例值来计算**总体标准差**

我们必须先找到均值

\(\displaystyle \mu = \frac{\sum x_{i}}{n} = \frac{4 + 11 + 7 + 14}{4} = \frac{36}{4} = \underline{9} \)

然后找到每个值与均值 \( (x_{i}- \mu)\) 之间的差值

• \( 4-9 \; \:= -5 \)
• \( 11-9 = 2 \)
• \( 7-9 \; \:= -2 \)
• \( 14-9 = 5 \)

然后将每个值平方，或乘以自身 \( ( x_{i}- \mu )^2\)

• \( (-5)^2 = (-5)(-5) = 25 \)
• \( 2^2 \; \; \; \; \; \, = 2*2 \; \; \; \; \; \; \; \: = 4 \)
• \( (-2)^2 = (-2)(-2) = 4 \)
• \( 5^2 \; \; \; \; \; \, = 5*5 \; \; \; \; \; \; \; \: = 25 \)

然后将所有平方差加在一起 \( \sum (x_{i} -\mu )^2\)

\( 25 + 4 + 4 + 25 = 58\)

然后将总和除以观测值的总数 \( n \)

\( \displaystyle \frac{58}{4} = 14.5\)

最后，我们求这个数字的平方根

\( \sqrt{14.5} \approx \underline{3.81} \)

因此，示例值的标准差约为：\(3.81 \)

使用编程计算标准差

许多编程语言都可以轻松计算标准差。

对于更大的数据集，使用软件和编程来计算统计数据更为常见，因为手动计算会变得很困难。

总体标准差

样本标准差

统计学符号参考