统计 - 标准差

标准差是使用最广泛的变异测量方法，它描述了数据的离散程度。

标准差

标准差 (σ) 衡量的是一个“典型”观测值距离数据平均值 (μ) 的程度。

标准差在许多统计方法中都非常重要。

以下是截至 2020 年所有 934 位诺贝尔奖获得者年龄的直方图，显示了**标准差**

直方图中的每条虚线都代表一个标准差的增量。

如果数据呈**正态分布：**

• 大约 68.3% 的数据位于平均值的 1 个标准差内 (从 μ-1σ 到 μ+1σ)
• 大约 95.5% 的数据位于平均值的 2 个标准差内 (从 μ-2σ 到 μ+2σ)
• 大约 99.7% 的数据位于平均值的 3 个标准差内 (从 μ-3σ 到 μ+3σ)

计算标准差

您可以计算**总体**和**样本**的标准差。

公式**几乎**相同，使用不同的符号来表示标准差 (σ) 和**样本**标准差 (s)。

计算**标准差** (σ) 使用以下公式

${\displaystyle \sigma =\sqrt{\frac{\sum (x_i-\mu {)}^2}{n}}}$

计算**样本标准差** (s) 使用以下公式

${\displaystyle s=\sqrt{\frac{\sum (x_i-\overline{x}{)}^2}{n-1}}}$

$n$ 是观测值的总数。

$\sum$ 是将一列数字加起来的符号。

$x_i$ 是数据中的值列表：$x_1,x_2,x_3,\dots$

$\mu$ 是总体均值，$\overline{x}$ 是样本均值（平均值）。

$(x_i-\mu )$ 和 $(x_i-\overline{x})$ 是观测值 ($x_i$) 和均值之间的差值。

每个差值都被平方并加在一起。

然后将总和除以 $n$ 或 ($n-1$)，最后求平方根。

使用这 4 个示例值来计算**总体标准差**

我们必须先找到均值

${\displaystyle \mu =\frac{\sum x_i}{n}=\frac{4+11+7+14}{4}=\frac{36}{4}=\underset{―}{9}}$

然后找到每个值与均值 $(x_i-\mu )$ 之间的差值

• $4-9=-5$
• $11-9=2$
• $7-9=-2$
• $14-9=5$

然后将每个值平方，或乘以自身 $(x_i-\mu {)}^2$

• $(-5{)}^2=(-5)(-5)=25$
• $2^2=2\ast 2=4$
• $(-2{)}^2=(-2)(-2)=4$
• $5^2=5\ast 5=25$

然后将所有平方差加在一起 $\sum (x_i-\mu {)}^2$

$25+4+4+25=58$

然后将总和除以观测值的总数 $n$

${\displaystyle \frac{58}{4}=14.5}$

最后，我们求这个数字的平方根

$\sqrt{14.5}\approx \underset{―}{3.81}$

因此，示例值的标准差约为：$3.81$

使用编程计算标准差

许多编程语言都可以轻松计算标准差。

对于更大的数据集，使用软件和编程来计算统计数据更为常见，因为手动计算会变得很困难。

总体标准差

样本标准差

统计学符号参考