矩阵
矩阵是一组数字。
矩阵是矩形数组。
矩阵以行和列的形式排列。
矩阵维度
此矩阵有1行和3列
矩阵的维度为（1x3）。
此矩阵有2行和3列
矩阵的维度为（2x3）。
方阵
方阵是行数和列数相同的矩阵。
n×n矩阵称为n阶方阵。
2×2矩阵（二阶方阵）
4×4矩阵（四阶方阵）
| C = |
| 1 |
-2 |
3 |
4 |
| 5 |
6 |
-7 |
8 |
| 4 |
3 |
2 |
-1 |
| 8 |
7 |
6 |
-5 |
|
对角矩阵
对角矩阵的对角线元素有值，其他元素为零。
标量矩阵
标量矩阵的对角线元素相等，其他元素为零。
| C = |
| 3 |
0 |
0 |
0 |
| 0 |
3 |
0 |
0 |
| 0 |
0 |
3 |
0 |
| 0 |
0 |
0 |
3 |
|
单位矩阵
单位矩阵的对角线元素为1，其他元素为0。
这是矩阵中的1，符号为I。
| I = |
| 1 |
0 |
0 |
0 |
| 0 |
1 |
0 |
0 |
| 0 |
0 |
1 |
0 |
| 0 |
0 |
0 |
1 |
|
如果用单位矩阵乘以任何矩阵，结果等于原始矩阵。
零矩阵
零矩阵（零矩阵）仅包含零。
相等矩阵
如果每个元素都对应，则矩阵是相等的。
负矩阵
矩阵的负数很容易理解。
JavaScript中的线性代数
在线性代数中，最简单的数学对象是标量。
另一个简单的数学对象是数组。
const array = [ 1, 2, 3 ];
矩阵是二维数组。
const matrix = [ [1,2],[3,4],[5,6] ];
向量可以写成只有一列的矩阵。
const vector = [ [1],[2],[3] ];
向量也可以写成数组。
const vector = [ 1, 2, 3 ];
JavaScript矩阵运算
在JavaScript中对矩阵进行编程运算，很容易变成一堆循环。
使用JavaScript库可以省去很多麻烦。
用于矩阵运算最常见的库之一是math.js。
可以用一行代码将其添加到网页中。
使用math.js
<script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjs/9.3.2/math.js"></script>
矩阵加法
如果两个矩阵的维度相同，我们可以将它们相加。
示例
const mA = math.matrix([[1, 2], [3, 4], [5, 6]]);
const mB = math.matrix([[1,-1], [2,-2], [3,-3]]);
// 矩阵加法
const matrixAdd = math.add(mA, mB);
// 结果 [ [2, 1], [5, 2], [8, 3] ]
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矩阵减法
如果两个矩阵的维度相同，我们可以将它们相减。
示例
const mA = math.matrix([[1, 2], [3, 4], [5, 6]]);
const mB = math.matrix([[1,-1], [2,-2], [3,-3]]);
// 矩阵减法
const matrixSub = math.subtract(mA, mB);
// 结果 [ [0, 3], [1, 6], [2, 9] ]
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标量乘法
虽然行和列中的数字称为矩阵，但单个数字称为标量。
将矩阵乘以标量很容易。只需将矩阵中的每个数字乘以标量即可。
示例
const mA = math.matrix([[1, 2], [3, 4], [5, 6]]);
// 矩阵乘法
const matrixMult = math.multiply(2, mA);
// 结果 [ [2, 4], [6, 8], [10, 12] ]
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示例
const mA = math.matrix([[0, 2], [4, 6], [8, 10]]);
// 矩阵除法
const matrixDiv = math.divide(mA, 2);
// 结果 [ [0, 1], [2, 3], [4, 5] ]
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矩阵转置
对矩阵进行转置，意味着将行替换为列。
当您交换行和列时，您将矩阵绕其对角线旋转。
矩阵乘法
矩阵乘法比较困难。
我们只有在矩阵A的列数与矩阵B的行数相同时才能将两个矩阵相乘。
然后，我们需要计算“点积”。
我们需要将A的每一列中的数字乘以B的每一行中的数字，然后将这些积加起来。
示例
const mA = math.matrix([1, 2, 3]);
const mB = math.matrix([[1, 4, 7], [2, 5, 8], [3, 6, 9]]);
// 矩阵乘法
const matrixMult = math.multiply(mA, mB);
// 结果 [14, 32, 50]
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解释
| (1,2,3) * (1,2,3) = 1x1 + 2x2 + 3x3 = | 14 |
| (1,2,3) * (4,5,6) = 1x4 + 2x5 + 3x6 = | 32 |
| (1,2,3) * (7,8,9) = 1x7 + 2x8 + 3x9 = | 50 |
如果您知道如何乘以矩阵，就可以求解许多复杂的方程。
示例
您出售玫瑰。
- 红玫瑰每朵3美元。
- 白玫瑰每朵4美元。
- 黄玫瑰每朵2美元。
- 星期一您卖出260朵玫瑰。
- 星期二您卖出200朵玫瑰。
- 星期三您卖出120朵玫瑰。
所有销售的价值是多少？
|
 $3 |
 $4 |
 $2 |
| 周一 | 120 | 80 | 60 |
| 周二 | 90 | 70 | 40 |
| 周三 | 60 | 40 | 20 |
示例
const mA = math.matrix([3, 4, 2]);
const mB = math.matrix([[120, 90, 60], [80, 70, 40], [60, 40, 20]);
// 矩阵乘法
const matrixMult = math.multiply(mA, mB);
// 结果 [800, 630, 380]
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解释
| A |
|
B |
|
|
|
|
|
|
x |
| 120 |
90 |
60 |
| 80 |
70 |
40 |
| 60 |
40 |
20 |
|
= |
|
= |
|
| (3,4,2) * (120,80,60) | = 3x120 + 4x80 + 2x60 | = 800 |
| (3,4,2) * (90,70,40) | = 3x90 + 4x70 + 2x40 | = 630 |
| (3,4,2) * (60,40,20) | = 3x60 + 4x40 + 2x20 | = 380 |
矩阵分解
在AI中，您需要知道如何对矩阵进行分解。
矩阵分解是线性代数中的一个关键工具，特别是在线性最小二乘法中。
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